Indirekter Beweis oder Beweis durch Widerspruch

Um die Behauptung q zu beweisen, geht man von der Negation aus und schließt von auf eine falsche Aussage r, d.h. (s. auch Tautologien). Dann muß aber auch falsch sein, da man bei der Implikation nur von einer falschen Voraussetzung zu einer falschen Behauptung kommt (s. 1. Zeile der Wahrheitstafel für die Implikation). Wenn aber falsch ist, muß q wahr sein.

Beispiel

Es ist zu beweisen, daß die Zahl keine rationale Zahl ist. Angenommen, sei rational. Dann gilt mit ganzen Zahlen a,b und Die Zahlen a,b sind dabei teilerfremd, d.h., sie besitzen keinen gemeinsamen Teiler. Man erhält oder a²=2b², d.h., a² wäre eine gerade Zahl, was nur dann möglich ist, wenn a=2n eine gerade Zahl ist. Es müßte dann wegen a²=4n²=2b² auch b eine gerade Zahl sein. Das ist offensichtlich ein Widerspruch zur Voraussetzung, daß a und b teilerfremd sind.