Irrationale und transzendente Zahlen

1. Menge der irrationalen Zahlen:

Für die Analysis reicht die Menge der rationalen Zahlen nicht aus. Obgleich sie überall dicht ist, füllt sie nicht die gesamte Zahlengerade aus. Wenn man z.B. die Diagonale AB des Einheitsquadrats um A dreht, so daß B in den Punkt K der Zahlengeraden übergeht, dann hat K keine rationale Koordinate.

Erst die Einführung der irrationalen Zahlen ermöglicht es, jedem Punkt der Zahlengeraden eine Zahl zuzuordnen.
Eine exakte Definition der irrationalen Zahlen kann z.B. durch Intervallschachtelung erfolgen (s.[22.17], Bd. 1) oder mit Hilfe des (s. DEDEKINDschen Schnittes). Für die Anschauung genügt die Feststellung, daß die irrationalen Zahlen auf der Zahlengeraden die Punkte einnehmen, die als Lücken zwischen den rationalen Zahlen vorhanden sind, und daß jede irrationale Zahl durch einen nichtperiodischen unendlichen Dezimalbruch dargestellt werden kann.

2. Algebraische Irrationalitäten:

Zu den irrationalen Zahlen gehören insbesondere die nicht ganzzahligen reellen Wurzeln der algebraischen Gleichungen der Form

Man nennt solche Wurzeln algebraische Irrationalitäten.

Beispiel A

Einfachste Beispiele für algebraische Irrationalitäten sind die reellen Wurzeln der Gleichungen , also Zahlen der Form , wenn sie nicht rational sind.

Beispiel B

sind algebraische Irrationalitäten.

Irrationale Zahlen, die keine algebraischen Irrationalitäten sind, nennt man transzendente Zahlen.

Beispiel A

sind transzendente Zahlen.

Beispiel B

Die dekadischen Logarithmen der positiven ganzen Zahlen mit Ausnahme von Zahlen der Form 10ⁿ sind transzendente Zahlen.

Die nichtganzzahligen Wurzeln der quadratischen Gleichung

werden quadratische Irrationalitäten genannt . Sie haben die Form .

Beispiel

Die Teilung einer Strecke a im Verhältnis des Goldenen Schnittes x/a =(a-x)/x führt im Falle a =1 auf die quadratische Gleichung . Die Lösung ist eine quadratische Irrationalität. Sie enthält die irrationale Zahl .