Ordnungsrelationen

Eine binäre Relation R in einer Menge A heißt Ordnung oder Ordnungsrelation, wenn R reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist. Ist R zusätzlich linear (s. (5.80)), so heißt R vollständige Ordnung, vollständige Ordnungsrelation oder Kette. Die Menge A heißt dann durch R geordnet bzw. vollständig geordnet. In einer vollständig geordneten Menge sind also je zwei Elemente vergleichbar. Statt aRb verwendet man auch die Bezeichnung oder wenn die Ordnungsrelation R aus dem Zusammenhang bekannt ist.
Anstelle von Ordnung ist auch die Bezeichnung Halbordnung oder partielle Ordnung üblich.

Beispiel A

Die Zahlenbereiche sind durch die übliche Beziehung vollständig geordnet.

Beispiel B

Die Teilmengenbeziehung ist eine Ordnung, die nicht vollständig ist.

Beispiel C

Die lexikographische Ordnung auf den Wörtern der deutschen Sprache ist eine Kette.

DEDEKINDscher Schnitt

Ist Z ={A,B} eine Zerlegung von Q mit der Eigenschaft , so heißt (A,B) DEDEKINDscher Schnitt. Hat weder A ein größtes Element noch B ein kleinstes Element, so wird durch diesen Schnitt eindeutig eine irrationale Zahl bestimmt (s. auch [22.17], Bd. 1). Neben der Intervallschachtelung (s. Irrationale Zahhlen) sind die DEDEKINDschen Schnitte eine weitere Möglichkeit, die irrationalen Zahlen einzuführen.