Teilung einer Strecke

Teilung einer Strecke im gegebenen Verhältnis

Die Koordinaten des Punktes P mit dem Teilungsverhältnis der Strecke werden mit den folgenden Formeln berechnet:

Für den Mittelpunkt M der Strecke erhält man wegen

Wenn den Strecken und ein positives oder negatives Vorzeichen in Abhängigkeit davon zugeordnet wird, ob ihre Richtung mit der von übereinstimmt oder nicht, dann können die Formeln (3.314a,b,c,d) für zur Bestimmung eines Punktes dienen, der die Strecke im vorgegebenen Verhältnis äußerlich teilt (äußere Teilung), d.h. außerhalb der Strecke liegt. Liegt P innerhalb der Strecke , dann spricht man von innerer Teilung. Man definiert

1. wenn
2. wenn P = P₂ und
3. wenn P Fernpunkt oder uneigentlicher Punkt der Geraden g ist, d.h. wenn sich P unendlich weit von auf g befindet. Den Verlauf von zeigt die rechte Abbildung.

Beispiel

Für einen Punkt P, für den P₂ in der Mitte der Strecke liegt, ist

Harmonische Teilung

Harmonische Teilung liegt vor, wenn innere und äußere Teilung einer Strecke mit demselben Absolutbetrag erfolgen. Mit P_i und P_a als innerer bzw. äußerer Teilungspunkt sowie bzw. für innere und äußere Teilung gilt

= (3.315a) (3.315b)

Führt man den Abstand b des Mittelpunktes M der Strecke vom Punkt P₁ ein, und werden wie in der voranstehenden Abbildung die Abstände der Punkte P_i bzw. P_a von M mit x_i bzw. x_a bezeichnet, dann gilt:

Die Bezeichnung harmonische Teilung ergibt sich auch aus dem Zusammenhang mit dem harmonischen Mittel. In der folgenden Abbildung ist die harmonische Teilung (für ) in Analogie zur Abbildung im Abschnitt Strahlensätze dargestellt.

Das harmonische Mittel r der Strecken und ergibt sich in Übereinstimmung mit (1.70b) zu

d.h., ist das harmonische Mittel von und .

Goldener Schnitt:

Goldener Schnitt oder stetige Teilung einer Strecke a wird ihre Zerlegung in zwei Teilstrecken x und a-x genannt, wenn sich die Teilstrecke x zur Gesamtstrecke a verhält wie die Teilstrecke a-x zur Teilstrecke x. Die Teilstrecke x ergibt sich als Lösung einer quadratischen Gleichung:

In diesem Falle ist x das geometrische Mittel von a und a-x, denn es gilt:

Die Teilstrecke x kann auch geometrisch mit Hilfe der in der folgenden Abbildung angegebenen Konstruktion ermittelt werden.

Die Strecke x ist gleichzeitig die Seitenlänge eines regelmäßigen Zehnecks mit einem Umkreis vom Radius
Auf die Gleichung des Goldenen Schnittes führt auch die Aufgabe, von einem Rechteck mit dem Seitenverhältnis gemäß (3.318a) ein Quadrat derart abzutrennen, daß auch für das verbleibende Rechteck (3.318b) gilt.