Iterationsverfahren

Ähnlich dem PICARDschen Iterationsverfahren zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen soll eine Methode zur iterativen Bestimmung der Lösung einer FREDHOLMschen Integralgleichung 2. Art angegeben werden. Ausgehend von der Gleichung

wird sukzessiv eine Folge von Funktionen ermittelt. Als erste Iterierte setzt man . Alle folgenden erhält man mittels der Vorschrift:

Führt man die Schritte im einzelnen aus, so ist zunächst

Nach der angegebenen Iterationsvorschrift ist dieser Ausdruck anstelle von in die rechte Seite von (11.10) einzusetzen. Zur Vermeidung von Verwechslungen soll in (11.11b) die Integrationsvariable y in umbenannt werden. Man erhält:

= (11.11c)

= (11.11d)

Führt man die Bezeichnungen K₁(x,y)=K(x,y) und ein und nennt wieder , so kann geschrieben werden als

Mit der Bezeichnung

erhält man auf analoge Weise die Darstellung für die n-te Iterierte :

Der Ausdruck K_n(x,y) wird als n-ter iterierter Kern von K(x,y) bezeichnet.