Konvergenz der Neumannschen Reihe

Zur Ermittlung der Lösung ist die Potenzreihe bezüglich

die NEUMANNsche Reihe, auf Konvergenz zu untersuchen. Sind die Funktionen K(x,y) und f(x) beschränkt, d.h., es gelte

so bildet die Reihe

eine Majorante für die Potenzreihe (11.12). Diese geometrische Reihe konvergiert für

Die NEUMANNsche Reihe konvergiert also ebenfalls absolut und gleichmäßig für alle , die (11.13c) erfüllen (s. auch Raum linearer stetiger Operatoren). Durch eine schärfere Abschätzung der Glieder der NEUMANNschen Reihe kann das Konvergenzintervall noch genauer angegeben werden. Danach konvergiert die NEUMANNsche Reihe für

Diese Einschränkung an den Parameter bedeutet nicht, daß für größere Werte von generell keine Lösung existieren würde, sondern nur, daß die Lösung unter Umständen nicht durch die NEUMANNsche Reihe angegeben werden kann. Den Ausdruck

bezeichnet man als Resolvente oder lösenden Kern der Integralgleichung. Die Resolvente ermöglicht eine Lösungsdarstellung durch

Beispiel

Für die inhomogene FREDHOLMsche Integralgleichung 2. Art erhält man

und damit . Mit der Schranke (11.13c) konvergiert die Reihe sicher für , wobei ist. Die Resolvente ist jedoch eine geometrische Reihe, die sogar für konvergiert. Damit erhält man aus (11.14b)
.

Hinweis: Ist für ein konkretes die Bedingung (11.13d) nicht erfüllt, so kann ein stetiger Kern in zwei stetige Kerne zerlegt werden durch , wobei K¹(x,y) einen ausgearteten Kern darstellt und K²(x,y) so klein ist, daß (11.13d) für diesen Kern erfüllt ist. Auf diese Weise läßt sich für alle , die keine Eigenwerte sind, eine exakte Lösungsmethode herleiten.