Methode der sukzessivem Approximation nach Picard

Die Integration der Differentialgleichung

y'= f(x,y) (9.20a)

mit der Anfangsbedingung y = y₀ für x = x₀ liefert

Wird in die rechte Seite dieser Gleichung (9.20b) anstelle von y eine angemessen ausgewählte Funktion y₁(x) eingesetzt, dann ergibt sich eine neue Funktion , die sich von y₁(x) unterscheidet, wenn nicht y₁(x) bereits eine Lösung von (9.20a) ist. Nach Einsetzen von y₂(x) in die rechte Seite von (9.20b) anstelle von y erhält man eine Funktion . Die durch Fortsetzen des Verfahrens gewonnene Funktionenfolge konvergiert gegen die gesuchte Lösung in einem gewissen, den Punkt x₀ enthaltenden Intervall, wenn die Bedingungen des Existenzsatzes erfüllt sind. Diese PICARDsche Methode der sukzessiven (schrittweisen) Approximation ist ein Iterationsverfahren.

Beispiel

Es ist die Differentialgleichung y'=e^x-y² für die Anfangsbedingung y₀ = 0 für x₀ zu lösen. Umschreibung in die Integralform und Anwendung der sukzessiven Approximation, beginnend mit y₀ = 0 liefert:
usw.