Raum linearer stetiger Operatoren

Für zwei lineare (stetige) Operatoren sind die Summe S+T und das Vielfache punktweise erklärt:

Die Menge , häufig auch mit bezeichnet, aller linearen stetigen Operatoren T aus in wird so ein Vektorraum, auf dem sich (12.131) als Norm erweist. Dadurch wird ein normierter Raum und, falls ein BANACH-Raum ist, sogar ein BANACH-Raum. Insbesondere sind also die Axiome bis und bis erfüllt.

Ist , dann kann man für zwei beliebige Elemente durch

das Produkt definieren, das den Axiomen bis aus normierte Algebren sowie der Verträglichkeitsbedingung (12.100) mit der Norm genügt und so zu einer (im allgemeinen nichtkommutativen) normierten und, falls BANACH-Raum ist, zu einer BANACH-Algebra macht. Damit sind für jeden Operator die Potenzen

definiert, wobei I der identische Operator ist. Es gilt

und außerdem existiert stets der (endliche) Grenzwert

der Spektralradius des Operators T heißt und den Beziehungen

genügt, wobei T^* der zu T adjungierte Operator ist (s. auch (12.175)).
Im Falle der Vollständigkeit von hat der Operator für die Darstellung in Form der NEUMANNschen Reihe

die für in der Operatornorm von konvergiert.
(S. auch Konvergenz der NEUMANNschen Reihe).