Fredholmsche Sätze

Zur FREDHOLMschen Integralgleichung 2. Art

ist durch

eine zugehörige transponierte Integralgleichung gegeben. Zu diesem Paar von Integralgleichungen lassen sich folgende Aussagen treffen (s. auch Integralgleichungen mit ausgearteten Kernen).

1. Eine FREDHOLMsche Integralgleichung 2. Art besitzt nur abzählbar viele Eigenwerte, welche sich nur im Unendlichen häufen können, d.h., es existieren für jede reelle Zahl R nur endlich viele Eigenwerte mit .
2. Ist kein Eigenwert von (11.21a), dann sind beide inhomogene Integralgleichungen für beliebige Störfunktionen f(x) bzw. g(x) eindeutig lösbar, und die zugehörigen homogenen Integralgleichungen besitzen nur die triviale Lösung.
3. Ist ein Eigenwert von (11.21a), dann ist auch Eigenwert der transponierten Gleichung (11.21b). Beide homogene Integralgleichungen haben dann nicht verschwindende Lösungen, und die Anzahl linear unabhängiger Eigenfunktionen stimmt für beide Gleichungen überein.
4. Eine inhomogene Integralgleichung ist genau dann lösbar, wenn die Störfunktion zu allen Lösungen der homogenen transponierten Integralgleichung orthogonal ist, d.h. falls für alle Lösungen der Integralgleichung

   gilt

Aus diesen Sätzen folgt der FREDHOLMsche Alternativsatz: Entweder die inhomogene Integralgleichung ist für beliebige Störfunktion f(x) lösbar oder die zugehörige homogene Gleichung besitzt nichttriviale Lösungen.