Bestimmung der Resolvente

Läßt man n gegen unendlich gehen, dann erhalten die Determinanten und unendlich viele Zeilen und Spalten. Die Determinante

wird benutzt, um den lösenden Kern (Resolvente) in der folgenden Form darzustellen:

(vgl. Konvergenz der NEUMANNschen Reihe). Es gilt die Aussage, daß alle Nullstellen von Polstellen von sind. Gleichzeitig sind die mit genau die Eigenwerte der Integralgleichung (11.15). In diesem Fall besitzt die homogene Integralgleichung nicht verschwindende Lösungen, die Eigenfunktionen zum Eigenwert . Die Kenntnis der Resolvente ermöglicht, falls , eine explizite Lösungsdarstellung:

Zur Ermittlung der Resolvente nutzt man für die Funktionen und Potenzreihenentwicklungen bezüglich :

Es ist dabei . Die weiteren Koeffizienten lassen sich aus folgenden Rekursionsformeln gewinnen:

Beispiel A

.
Die exakte Lösung dieser Integralgleichung lautet:
.
Für n=3 mit  erhält man
.
ist eine Näherung für den exakten Eigenwert . Aus der ersten Gleichung des Systems (11.17b) ermittelt man für f₁=0 das Ergebnis .
Nach Einsetzen dieses Resultates lauten die zweite und dritte Gleichung:
.
Dieses System hat die Lösung . Speziell für ist . Die exakten Lösungswerte lauten: .
Um eine höhere Genauigkeit zu erreichen, muß die Anzahl der Stützstellen vergrößert werden.

Beispiel B

.
,
, ,
.
Damit sind auch und alle folgenden Größen d_k und K_k(x,y) gleich Null.
.
Aus ermittelt man die 2 Eigenwerte .
Falls kein Eigenwert ist, erhält man als Lösung
.