Nyström-Verfahren

Beim sogenannten NYSTRÖM-Verfahren verwendet man zur Approximation des Integrals die GAUSSschen Quadraturformeln. Zu deren Herleitung betrachte man das Integral

Man ersetzt den Integranden durch ein Polynom p(x) vom Grade n-1, welches die Funktion f(x) in den n Stützstellen x_k interpoliert:

p(x) =

L_k(x) = (11.27b)

Für das so definierte Polynom p(x) gilt:

Die Ersetzung des Integranden f(x) durch p(x) liefert die Quadraturformel

mit

gemäß (11.24). Für die GAUSSschen Quadraturformeln ist die Wahl der Stützstellen nicht willkürlich, sondern erfolgt nach der Vorschrift:

Die n Zahlen t_k sind die n Nullstellen des LEGENDREschen Polynoms 1. Art

Diese Nullstellen liegen alle im Intervall [-1,+1]. Die Koeffizienten können durch die Substitution ermittelt werden:

= (11.29)

In der folgenden Tabelle sind für die Nullstellen der LEGENDREschen Polynome sowie die Gewichte A_k angegeben.

Tabelle Nullstellen der LEGENDREschen Polynome 1. Art

Beispiel

Die Integralgleichung ist näherungsweise nach dem NYSTRÖM-Verfahren für den Fall n=3 zu lösen.

Das Gleichungssystem (11.25c) zur Ermittlung von und lautet:

Lösung des Systems: . Die Werte der exakten Lösung in den Stützstellen sind: .