Legendresche Differentialgleichung

Bei Beschränkung auf den Fall reeller Veränderlicher und ganzzahliger Parameter hat die LEGENDREsche Differentialgleichung die Gestalt

(9.67a)

Legendresche Polynome oder Kugelfunktionen 1. Art

LEGENDREsche Polynome oder Kugelfunktionen 1. Art heißen die partikulären Lösungen der LEGENDREschen Differentialgleichung für ganzzahlige , die sich über den Potenzreihenansatz ermitteln lassen:

a) Definitionsgleichung:

(9.67b)

Dabei gilt .

b) Andere Darstellung:

(9.67c)

wobei mit F die hypergeometrische Reihe bezeichnet wird. Die ersten acht Polynome haben die folgende einfache Form:

(9.67d)

(9.67e)

(9.67f)

(9.67g)

(9.67h)

(9.67i)

(9.67j)

(9.67k)

Die Kurvenbilder von P_n(x) für Werte von n = 1 bis n = 7 sind in der folgenden Abbildung dargestellt.

Zahlenwerte können leicht mit dem Taschenrechner berechnet bzw. in der Tabelle LEGENDREsche Polynome (Kugelfunktionen) nachgesehen werden.

Eigenschaften der Legendreschen Polynome 1. Art

a) Integraldarstellung:

(9.68a)

Das Vorzeichen kann in beiden Gleichungen beliebig genommen werden.

b) Rekursionsformel:

(9.68b)

(9.68c)

c) Orthogonalitätsrelation:

(9.68d)

Zur Orthogonalität s. auch Orthogonale Systeme.

d) Nullstellensatz:

Alle n Nullstellen von P_n(x) sind reell und einfach und liegen im Intervall (-1,1).

e) Erzeugende Funktion:

Die LEGENDREschen Polynome 1. Art können auch als Reihenentwicklung der Funktion

(9.68e)

erzeugt werden.

Weitere Angaben über die LEGENDREschen Polynome 1. Art s. [21.1].

Legendresche Funktionen oder Kugelfunktionen 2. Art

Eine zweite partikuläre, von P_n(x) linear unabhängige Lösung Q_n(x) erhält man für |x| > 1 durch die Potenzreihenentwicklung

Q_n(x)	=
	=
	+	(9.69a)

Die für |x|<1 gültige Darstellung von Q_n(x) lautet:

(9.69b)

Man bezeichnet die Kugelfunktionen 1. und 2. Art auch als zugeordnete oder assoziierte LEGENDREsche Funktionen (s. auch Lösung der Polargleichung).