Lösungen

Die Koeffizientenmatrix ist regulär, wenn die linere Unabhängigkeit der Funktionen vorausgesetzt wird. Die so ermittelte Lösung (11.39a) ist jedoch nicht die einzige Lösung der Integralgleichung. Im Gegensatz zur FREDHOLMschen Integralgleichung 2. Art mit ausgeartetem Kern ist die homogene Integralgleichung immer lösbar. Ist eine solche Lösung der homogenen Gleichung und eine Lösung von (11.38a), dann ist auch eine Lösung von (11.38a).
Um alle Lösungen der homogenen Gleichung zu bestimmen, wird die Gleichung (11.38c) mit f(x) = 0 betrachtet. Werden die Funktionen als linear unabhängig vorausgesetzt, dann ist die Gleichung genau dann erfüllt, wenn gilt

d.h., jede zu allen Funktionen orthogonale Funktion löst die homogene Integralgleichung.