Volterrasche Integralgleichungen 2. Art vom Faltungstyp

Besitzt der Kern einer VOLTERRAschen Integralgleichung die spezielle Form

dann können zur Lösung der Gleichungen

bzw.

die Eigenschaften der LAPLACE-Transformation genutzt werden. Falls die LAPLACE-Transformierten und existieren, dann lauten die transformierten Probleme unter Beachtung des Faltungssatzes

bzw.

Daraus folgt sofort:

bzw.

Die Rücktransformation liefert die Lösung des Ausgangsproblems. Durch Umformung des Ausdrucks für die LAPLACE-Transformierte der Lösung der Integralgleichung 2. Art gemäß

ergibt sich, falls der Ausdruck

die Transformierte einer Funktion h(x) ist, die Lösungsdarstellung

Die Funktion h(x-y) ist der lösende Kern der Integralgleichung.

Beispiel

.
, d.h. .
Die Rücktransformation liefert . Aus folgt . Nach (11.77g) ergibt sich die Lösungsdarstellung .