Faltung

1. Faltung im Originalbereich

Als Faltung zweier Funktionen f₁(x) und f₂(x) bezeichnet man das Integral

Die Gleichung (15.21) wird auch einseitige Faltung im Intervall (0,t) genannt.
Eine zweiseitige Faltung tritt bei der FOURIER-Transformation (Faltung im Intervall ()) auf.
Die Faltung (15.21) besitzt die Eigenschaften

Im Bildbereich entspricht der Faltung die gewöhnliche Multiplikation:

In der folgenden Abbildung ist die Faltung zweier Funktionen graphisch dargestellt.

Man kann den Faltungssatz zur Bestimmung der Originalfunktion wie folgt benutzen:

1. Faktorisierung der Bildfunktion .
2. Ermittlung der Originalfunktionen f₁(t) und f₂(t) der Bildfunktionen F₁(p) und F₂(p) gemäß Tabelle.
3. Bildung der Originalfunktion durch Faltung von f₁(t) mit f₂(t) im Originalbereich gemäß , die zur gegebenen Bildfunktion F(p) gehört.

2. Faltung im Bildbereich (komplexe Faltung)

Die Integration erfolgt längs einer Parallelen zur imaginären Achse. Im ersten Integral müssen x₁ und p so gewählt werden, daß z in der Konvergenzhalbebene von liegt und p-z in der Konvergenzhalbebene von . Entsprechendes gilt für das zweite Integral.