Transponierte Integralgleichung

Es bleibt noch zu untersuchen, unter welchen Bedingungen im Fall auch die inhomogene Integralgleichung eine Lösung besitzt. Zu diesem Zweck führt man die zu (11.4a) transponierte Integralgleichung ein:

Es sei ein Eigenwert und eine Lösung der inhomogenen Integralgleichung (11.4a). Dann läßt sich zeigen, daß auch Eigenwert der transponierten Gleichung ist. Man multipliziert beide Seiten von (11.4a) mit irgendeiner Lösung der homogenen transponierten Integralgleichung und integriert anschließend über x in den Grenzen von a bis b:

Da vorausgesetzt war, erhält man die Forderung .
Insgesamt gilt also: Die inhomogene Integralgleichung (11.4a) ist für einen Eigenwert genau dann lösbar, wenn die Störfunktion f(x) orthogonal zu allen nichtverschwindenden Lösungen der homogenen transponierten Integralgleichung mit demselben ist. Diese Aussage ist nicht auf Integralgleichungen mit ausgearteten Kernen eingeschränkt, sondern gilt auch für Integralgleichungen mit allgemeineren Kernen.

Beispiel A

Die sind linear abhängig. Man formt deshalb die Integralgleichung um:
.
Für diese Integralgleichung gilt: .
Falls eine Lösung existiert, hat sie die Darstellung .

Damit lautet das System zur Bestimmung von A₁ und A₂:
. Daraus ermittelt man und .

Beispiel B

, d.h.:
.

Das System (11.7d) lautet also . Es besitzt eine eindeutige Lösung für alle mit . Dann ist , und die Integralgleichung hat die Lösung Die Eigenwerte der Integralgleichung sind .
Die homogene Integralgleichung hat somit nichttriviale Lösungen der Form . Für ist , und mit einer beliebigen Konstanten A erhält man: . Entsprechend ermittelt man für : mit einer beliebigen Konstanten .

Hinweis: Das angegebene Lösungsverfahren ist besonders einfach, bleibt aber auf ausgeartete Kerne beschränkt. Die Methode kann jedoch auch für Integralgleichungen mit allgemeineren Kernen als Näherungsverfahren angewendet werden, indem man den Kern durch einen ausgearteten Kern hinreichend gut approximiert.