Adjungierter Operator zu einem unbeschränkten Operator

Seien und reelle normierte Räume und T ein linearer (nicht unbedingt beschränkter) Operator mit dem (linearen) Definitionsbereich und Werten in . Für ein fixiertes Funktional ist dann der Ausdruck , der offenbar linear von x abhängt, sinnvoll, so daß die Frage nach der Existenz eines wohlbestimmten Funktionals mit der Eigenschaft

steht. Sei die Menge aller der , für die bei einem gewissen die Darstellung (12.180) gilt. Ist , dann ist f zu vorgegebenem g eindeutig bestimmt, so daß ein linearer Operator f=T^*g mit D(T^*)=D^* als Definitionsbereich entsteht. Für beliebige und gilt dann

Der Operator T^* ist sogar abgeschlossen und heißt adjungiert zu . Die Natürlichkeit dieses allgemeinen Zugangs ergibt sich daraus, daß genau dann gilt, wenn T auf D(T) beschränkt ist. In diesem Falle ist und .