Adjungierter Operator zu einem beschränkten Operator

Für einen linearen stetigen Operator wobei normierte Räume sind, ordnet man jedem durch ein Funktional zu. Auf diese Weise entsteht ein linearer stetiger Operator

der adjungierter Operator zu T heißt und die folgenden Eigenschaften besitzt:
, wobei für die linearen stetigen Operatoren und , ( sind normierte Räume) der Operator auf natürliche Weise durch ST(x)=S(T(x)) definiert ist.

Mit den in den Abschnitten Lineare Operatoren und Funktionale und
Stetige lineare Funktionale im HILBERT-Raum eingeführten Bezeichnungen bestehen für einen Operator die folgenden Identitäten:

wobei die Abgeschlossenheit von Im(T) die Abgeschlossenheit von Im(T^*) impliziert.

Der Operator , den man als (T^*)^* aus T^* gewinnt, heißt der zweite adjungierte Operator zu T und hat die Eigenschaft: Ist . Der Operator ist also eine Erweiterung von .

Im HILBERT-Raum kann auf Grund des RIESZschen Satzes der adjungierte Operator mit Hilfe des Skalarprodukts eingeführt werden, wobei sich wegen der Identifizierung von und neben und I^*=I sogar T^**=T ergibt. Ist T bijektiv, so ist es auch , und es gilt . Für die Resolventen von T und T^* gilt die Beziehung

woraus sich für das Spektrum des adjungierten Operators ergibt.

Beispiel A

Sei T ein Integraloperator mit stetigem Kern

der im Raum betrachtet wird. Der zu T adjungierte Operator ist ebenfalls ein Integraloperator

mit dem Kern , wobei y_g das gemäß (12.165) zu existierende Element aus L^q ist.

Beispiel B

Im endlichdimensionalen komplexen Vektorraum ist der adjungierte zu einem durch die Matrix A=(a_ij) repräsentierten Operator gerade durch die Matrix A^* mit definiert.