Ein kompakter selbstadjungierter Operator 
besitzt wenigstens einen (von Null verschiedenen) Eigenwert. Genauer, T hat immer einen Eigenwert 
mit 
. Die Menge der Eigenwerte von T ist höchstens abzählbar.
T hat die Darstellung 
, wobei 
die verschiedenen Eigenwerte von T und 
den Projektor auf den Eigenraum 
bezeichnen. Man sagt in diesem Zusammenhang auch, daß der Operator T diagonalisiert werden kann. Daraus ergibt sich 
für jedes 
, wobei {ek} das orthonormierte System der Eigenvektoren von T ist.
Wenn 
und 
, dann hat die Lösung der Gleichung 
die Form 
.
Satz von Hilbert-Schmidt: Ist T ein kompakter selbstadjungierter Operator im separablen HILBERT-Raum 
, dann gibt es in 
eine Basis aus den Eigenvektoren von T.
Die sogenannten Spektral-(abbildungs-)sätze (s. [12.9], [12.11], [12.13], [12.15], [12.16], [12.21]) kann man als die Verallgemeinerung des Satzes von HILBERT-SCHMIDT auf den nichtkompakten Fall selbstadjungierter (beschränkter oder unbeschränkter) Operatoren auffassen.