Nichtlineare Operatoren

In der Lösungstheorie nichtlinearer Operatorengleichungen zieht man im wesentlichen Methoden heran, die auf den folgenden Prinzipien beruhen.

1. Prinzip der kontrahierenden Abbildung, Banachscher Fixpunktsatz

(s. Fundamentale Sätze in vollständigen metrischen Räumen und Anwendungen des Kontraktionsprinzips. Zu weiteren Modifizierungen und Varianten dieses Prinzips s. [12.9], [12.12], [12.15], [12.21].

2. Verallgemeinerung des Newton-Verfahrens

auf den unendlichdimensionalen Fall (s. auch Verfahren für unrestringierte Aufgaben).

3. Schaudersches Fixpunktprinzip

4. Leray-Schauder-Theorie

Mit Methoden, die auf den Prinzipien 1 und 2 basieren, ergeben sich umfassende Informationen über die Lösung, wie Existenz, Eindeutigkeit, Konstruktivität u.a., während die Untersuchungsmethoden, die auf den Prinzipien 3 und 4 basieren, im allgemeinen nur  die qualitative Aussage der Existenz einer Lösung gestatten. Bei zusätzlichen Eigenschaften des Operators s. jedoch Positive lineare Operatoren und Monotone Operatoren in BANACH-Räumen.

• Beispiele nichtlinearer Operatoren
  • Nemytskij-Operator
  • Hammerstein-Operator
  • Urysohn-Operator
  
  
• Differenzierbarkeit nichtlinearer Operatoren
• Newton-Verfahren
• Schaudersches Fixpunktprinzip
• Leray-Schauder-Theorie
• Positive nichtlineare Operatoren
• Monotone Operatoren in Banach-Räumen
  • Spezielle Eigenschaften
  • Existenzaussagen zur Lösung von Operatorengleichungen