Seien 
BANACH-Räume, 
eine offene Menge und 
. Der Operator T heißt FRÉCHET-differenzierbar im Punkt 
, wenn ein (im allgemeinen von der Stelle x abhängiger, linearer stetiger) Operator 
existiert, so daß
oder in äquivalenter Schreibweise
gilt, d.h. 
, so daß 
die Ungleichung 
impliziert. Der Operator 
, den man gewöhnlich mit 
oder 
bezeichnet, heißt FRÉCHET-Ableitung des Operators T im Punkt 
. Den Wert dT(x;h)=T'(x)h nennt man FRÉCHET-Differential des Operators T im Punkt x (für den Zuwachs h). Die Bezeichnungen weisen den Platz für das Argument aus , auf das die Ableitung des Operators angewendet werden kann. Aus der Differenzierbarkeit eines Operators in einem Punkt folgt seine Stetigkeit in diesem Punkt. Ist 
, also selbst bereits linear und stetig, dann ist T in jedem Punkt x differenzierbar, und die Ableitung ist gleich 
.
