Leray-Schauder-Theorie

Für die Existenz von Lösungen der Gleichungen x=T(x) und , mit jeweils vollstetigem Operator , ist auf der Grundlage tiefliegender Eigenschaften des Abbildungsgrades ein weiteres Prinzip entdeckt worden, das etwa für Existenzbeweise bei nichtlinearen Randwertproblemen erfolgreich eingesetzt wird. Die hier angeführten Resultate dieser Theorie sind für praktische Belange vielfach die geeignetsten, wobei Formulierungen gewählt wurden, die ohne Erwähnung des Abbildungsgrades auskommen.

Satz von Leray-Schauder, 1. Formulierung:

Seien D eine offene beschränkte Menge eines rellen BANACH-Raumes und ein vollstetiger Operator. Sei ein solcher Punkt, daß für alle und gilt, wobei den Rand der Menge D bezeichnet. Dann hat die Gleichung (I + T)(x) = y wenigstens eine Lösung.

Satz von Leray-Schauder, 2. Formulierung:

In Anwendungen erweist sich häufig auch die folgende Variante dieses Satzes als vorteilhaft. Sei T ein vollstetiger Operator auf dem BANACH-Raum . Wenn die Lösungen der Gleichungsschar

eine gleichmäßige apriori-Abschätzung gestatten, d. h. , so daß und , die (12.200) genügen, die Ungleichung gilt, dann besitzt die Gleichung x=T(x) eine Lösung.