Der erfolgreiche Einsatz des SCHAUDERschen Fixpunktsatzes erfordert die Auswahl einer Menge mit den entsprechenden Eigenschaften, die vom betrachteten Operator in sich abgebildet wird.
In Anwendungen, insbesondere in der Lösungstheorie nichtlinearer Randwertprobleme, handelt es sich meistens um geordnete normierte (aus Funktionen bestehende) Räume und nicht selten um positive, d.h. den betreffenden Kegel invariant lassende, oder isoton wachsende Operatoren, d.h. solche 
, für die 
gilt. Wenn Verwechslungen ausgeschlossen sind, nennt man solche Operatoren auch monoton (s. etwa Abschnitt Monotone Operatoren in BANACH-Räumen).
Seien jetzt 
ein geordneter BANACH-Raum mit abgeschlossenem Kegel 
und [a,b] ein Ordnungsintervall aus 
. Ist normal und gilt 
für einen vollstetigen (nicht notwendigerweise isotonen) Operator , dann besitzt T wenigstens einen Fixpunkt in [a,b] (s. Abbildung).
Ein weiterer Vorteil der Betrachtungen in geordneten Räumen besteht darin, daß für einen isoton wachsenden Operator , der auf einem (0)-Interval [a,b] des Raumes 
definiert ist und (lediglich) die Eckpunkte a, b in [a,b] abbildet, also den beiden Bedingungen 
und 
genügt, automatisch gilt. Darüber hinaus sind die beiden durch
wohldefinierten (d.h. 
)) Folgen monoton wachsend bzw. fallend, d.h. 
und 
. Ein Fixpunkt x* bzw. x* des Operators T heißt minimal bzw. maximal, wenn für jeden Fixpunkt z von T die Ungleichung 
bzw. 
gilt.
Es gelten nun die folgenden Aussagen (s. Abbildung):
Seien ein geordneter BANACH-Raum mit abgeschlossenem Kegel und 
ein stetiger isoton wachsender Operator. Sei 
mit 
und 
. Dann gilt 
, und der Operator T besitzt einen Fixpunkt in 
, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:
ist normal und T kompakt. ist regulär.Die wie in (12.201) definierten Folgen 
und 
konvergieren dann zum minimalen bzw. maximalen Fixpunkt von T in .
Das Konzept der Ober- und Unterlösungen basiert auf diesen Resultaten (s. [12.17], [12.13], [12.14]).
