Vektorverband

Im Vektorraum der reellen Zahlen sind die Begriffe (o)-Beschränktheit und Beschränktheit (im herkömmlichen Sinne) identisch. Es ist bekannt, daß jede von oben beschränkte Menge reeller Zahlen in ihr Supremum - die kleinste aller oberen Schranken - besitzt. Analog, wenn eine Menge reller Zahlen von unten beschränkt ist, dann besitzt sie ihr Infimum - die größte aller unteren Schranken. In einem allgemeinen geordneten Vektorraum kann die Existenz von Supremum und Infimum i.allg. nicht einmal für endliche Teilmengen nachgewiesen, sondern muß per Axiom gefordert werden. Ein geordneter Vektorraum heißt Vektorverband oder linearer Verband (in der englischsprachigen Literatur auch RIESZscher Raum bzw. und in der russischsprachigen Literatur auch K-Lineal), wenn für zwei beliebige Elemente ein Element mit den folgenden Eigenschaften existiert:

1. 
2. ist mit und dann gilt .

Ein solches Element z ist eindeutig bestimmt, wird mit bezeichnet und das Supremum von x und y (genauer: Supremum der aus den Elementen x und y bestehenden Menge) genannt. In einem Vektorverband existiert zu je zwei Elementen x und y auch stets das Infimum, das mit bezeichnet wird. Zu Anwendungen positiver Operatoren in Vektorverbänden s.u.a. [12.3].

Ein Vektorverband, in dem jede nichtleere, von oben beschränkte Teilmenge E ein Supremum sup(E) hat (analog, in dem jede nichtleere, von unten bescgränkte Teilmenge ein Infimum inf(E) hat), heißt DEDEKIND-komplett oder K-Raum (KANTOROVICH-Raum)

Beispiel A

Im Vektorverband wird das Supremum von zwei Funktionen x, y punktweise nach der Formel

berechnet. Im Falle von und y(t)=t² (s. Abbildung) ergibt sich für

Beispiel B

Die Räume und sind ebenfalls Vektorverbände, während der geordnete Raum kein Vektorverband ist, da das Minimum oder Maximum zweier Funktionen im allgemeinen eine Funktion sein kann, die nicht in jedem Punkt aus [a,b] differenzierbar zu sein braucht.

Ein linearer Operator des Vektorverbandes in einen Vektorverband heißt Vektorverbandshomomorphismus oder Homomorphismus der Vektorverbände, wenn für alle gilt: