Abgeschlossene Mengen

Eine Teilmenge F eines metrischen Raumes heißt abgeschlossen, wenn eine offene Menge ist. Jede abgeschlossene Kugel in einem metrischen Raum, insbesondere jedes Intervall der Typen in , ist eine abgeschlossene Menge.
Dual zu den Axiomen der offenen Mengen erfüllt die Gesamtheit aller abgeschlossenen Mengen eines metrischen Raumes folgende Eigenschaften:

Sind für abgeschlossen, dann ist auch die Menge abgeschlossen.
Sind beliebig endlich viele abgeschlossene Mengen, dann ist auch die Menge abgeschlossen.
Die leere Menge ist vereinbarungsgemäß abgeschlossen.

Die Mengen und X sind sowohl offen als auch abgeschlossen. Ein Punkt x₀ des metrischen Raumes heißt Berührungspunkt der Menge wenn für jede Umgebung U(x₀)

(12.55)

gilt. Besteht dieser Durchschnitt darüber hinaus jeweils nicht nur aus dem einen Punkt , dann heißt x₀ Häufungspunkt der Menge A. Ein Berührungspunkt, der kein Häufungspunkt ist, heißt isolierter Punkt.

Ein Häufungspunkt von A muß somit nicht unbedingt zur Menge A gehören muß, z.B. der Punkt a im Verhältnis zur Menge , während ein isolierter Punkt notwendigerweise zur Menge A gehören muß. Ein Punkt x₀ ist genau dann Berührungspunkt der Menge , wenn es eine Folge von Elementen x_n aus A gibt, die zu x₀ konvergiert, wobei im Falle eines isolierten Punktes x₀ gesetzt wird.