Abschließung

Jede Teilmenge A eines metrischen Raumes liegt in der abgeschlossenen Menge . Es existiert immer eine kleinste abgeschlossene Menge, die A enthält, nämlich der Durchschnitt aller abgeschlossenen Mengen aus , die A enthalten. Diese Menge heißt abgeschlossene Hülle oder Abschließung der Menge A und wird gewöhnlich mit bezeichnet. ist mit der Menge aller Berührungspunkte von A identisch; man erhält aus der Menge A durch Hinzufügen aller ihrer Häufungspunkte. Abgeschlossene Mengen sind gerade solche Mengen , für die gilt. Demzufolge erlauben sie eine Charakterisierung durch Folgen in folgender Weise: A ist abgeschlossen genau dann, wenn für eine beliebige Folge von Elementen aus A, die im Raum zu einem Element konvergiert, der Grenzwert x₀ zu A gehört.