Dichte Teilmengen und separable metrische Räume

Eine Teilmenge A eines metrischen Raumes heißt überall dicht,wenn gilt, mit anderen Worten, jeder Punkt ist Berührungspunkt der Menge . Das bedeutet, für jedes gibt es eine Folge {x_n} von Elementen aus A mit .

Beispiel

Nach dem WEIERSTRASSschen Approximationssatz kann jede auf einem abgeschlossenem und beschränktem Intervall [a,b] stetige Funktion beliebig genau in der Metrik des Raumes , also gleichmäßig, durch Polynome genähert werden. Diesen Satz kann man nunmehr wie folgt formulieren: Die Menge der Polynome auf [a,b] ist überall dicht in .

Beispiel

Weitere Beispiele für überall dichte Mengen im Raum sind die Mengen aller rationalen Zahlen und aller irrationalen Zahlen.

Ein metrischer Raum heißt separabel, wenn in eine abzählbare überall dichte Teilmenge existiert. Eine abzählbare überall dichte Teilmenge in ist zum Beispiel die Menge aller Vektoren mit rationalen Komponenten. Separabel ist auch der Raum , eine abzählbare überall dichte Teilmenge ist z.B. die Menge aller Elemente der Form , wobei r_i rationale Zahlen und N=N(x) eine beliebige natürliche Zahl ist. Der Raum ist nicht separabel.