Eigenschaften der Orthogonalität

Der Nullvektor ist zu jedem Vektor aus orthogonal. Es gilt:

1. und impliziert für beliebige .
2. Aus und folgt
3. genau dann, wenn wobei die abgeschlossene lineare Hülle der Menge A bezeichnet.
4. Ist und A eine fundamentale Menge, d.h., lin(A) ist überall dicht in , dann ist .
5. Satz des Pythagoras: Sind die Elemente paarweise orthogonal, also für , dann ist
6. Projektionssatz: Ist ein Teilraum von , dann ist jeder Vektor eindeutig in der Form

   darstellbar.

7. Approximationsproblem: Weiter gilt , so daß das Problem

   in mit x' eindeutig lösbar ist. kann dabei sogar durch eine konvexe, abgeschlossene nichtleere Teilmenge aus ersetzt werden. Das Element x' heißt Projektion des Elements x auf , besitzt den kleinsten Abstand von x (zu ), und der Raum ist orthogonal zerlegbar: