Orthogonale Systeme

Eine Menge von Vektoren aus heißt orthogonales System, wenn es den Nullvektor nicht enthält und , also gilt, wobei

das KRONECKER-Symbol bezeichnet. Ein orthogonales System heißt orthonormal oder orthonormiert, wenn auch noch gilt.
In einem separablen HILBERT-Raum kann ein orthogonales System aus höchstens abzählbar vielen Elementen bestehen. Im weiteren ist daher stets .

Beispiel A

Das System

im reellen Raum und das System

im komplexen Raum sind orthonormale Systeme. Diese beiden Systeme heißen trigonometrisch.

Beispiel B

  Die LEGENDREschen Polynome 1. Art

bilden ein orthogonales System von Elementen im Raum . Das entsprechende orthonormale System ist dann

Beispiel C

  Die HERMITEsche Polynome gemäß der 2. Definition der HERMITEschen Differentialgleichung (9.72g)

bilden ein orthogonales System im Raum .

Beispiel D

  Im Raum bilden die LAGUERREschen Polynome ein orthogonales System.

Jedes orthogonale System ist linear unabhängig, denn der Nullvektor ist ausgeschlossen. Umgekehrt, hat man ein System von linear unabhängigen Elementen in einem HILBERT-Raum , dann existieren nach dem GRAM-SCHMIDTschen Orthogonalisierungsverfahren Vektoren , die ein orthonormales System bilden und die bis auf einen Faktor mit Modul 1 eindeutig bestimmt sind.