Bestapproximation

Seien jetzt ein separabler HILBERT-Raum und

ein fixiertes orthonormales System in . Für ein Element heißen die Zahlen c_n=(x,e_n) FOURIER-Koeffizienten des Elements x bezüglich des Systems (12.124). Die (formale) Reihe

nennt man FOURIER-Reihe des Elements x bezüglich des Systems (12.124). Die n-te Partialsumme der FOURIER-Reihe eines Elements x besitzt die Eigenschaft der Bestapproximation, d.h., bei festem n ergibt unter allen Vektoren aus die n-te Partialsumme der FOURIER-Reihe, also das Element

den kleinsten Wert für , d.h. . Darüber hinaus ist orthogonal zu , und es gilt die BESSELsche Ungleichung