Parsevalsche Gleichung, Satz von Riesz-Fischer

Die FOURIER-Reihe eines beliebigen Elements konvergiert stets, und zwar zur Projektion des Elements x auf den Teilraum . Hat ein Element die Darstellung , dann sind die FOURIER-Koeffizienten von . Ist eine beliebige Zahlenfolge mit der Eigenschaft , dann existiert in genau ein Element , dessen FOURIER-Koeffizienten gerade die Zahlen sind und für das die Abgeschlossenheitsrelation oder PARSEVALsche Gleichung

gilt (Satz von RIESZ-FISCHER).

Ein orthonormales System {e_n} in heißt vollständig, wenn es keinen vom Nullvektor verschiedenen Vektor y gibt, der zu allen Vektoren e_n orthogonal ist; es heißt Basis, wenn jeder Vektor als dargestellt werden kann, d.h. , und x ist gleich der Summe seiner FOURIER-Reihe. In letzterem Falle sagt man auch, x hat eine FOURIER-Entwicklung. Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

1. {e_n} ist eine fundamentale Menge in .
2. {e_n} ist vollständig in .
3. {e_n} ist eine Basis in .
4. Für mit den entsprechenden FOURIER-Koeffizienten gilt
5. Für jeden Vektor gilt die PARSEVALsche Gleichung (12.128).
   

Beispiel A

Das trigonometrische System (12.119) ist eine Basis im Raum
.

Beispiel B

Das System der normierten LEGENDREschen Polynome (12.122)

ist vollständig und bildet demzufolge eine Basis im Raum .