Beschränktheit und Norm linearer Operatoren

Seien und normierte Räume. Die Kennzeichnung der Norm im Raum , etwa durch , wird im weiteren weggelassen, da aus dem jeweiligen Kontext klar wird, in welchem Raum die Norm betrachtet wird. Ein beliebiger Operator heißt beschränkt, wenn eine reelle Zahl existiert mit

Ein beschränkter Operator mit der Konstanten dehnt jeden Vektor höchstens um das -fache und überführt jede beschränkte Menge aus in eine beschränkte Menge aus , insbesondere ist das Bild der Einheitskugel aus in beschränkt. Für die Beschränktheit eines linearen Operators ist die letzte Eigenschaft charakteristisch. Ein linearer Operator ist genau dann stetig, wenn er beschränkt ist.

Die kleinste Konstante , für die (12.130) noch gilt, heißt Norm des Operators T und wird mit bezeichnet, d.h.

Für einen stetigen linearen Operator gelten

und außerdem die Abschätzung

Beispiel

Im Raum mit der Norm (12.89e) ist der mittels der auf dem Quadrat stetigen komplexwertigen Funktion K(s,t) definierte Operator

ein beschränkter linearer Operator, der in abbildet. Für seine Norm gilt