Beispiele für Vektorräume von Funktionen

Beispiel A: Vektorraum F(T)

Sei die Menge aller reell- oder komplexwertigen Funktionen auf einer Menge , wobei für Funktionen die Operationen punktweise erklärt werden, d.h., sind x=x(t) und y=y(t) zwei beliebige Elemente aus und ein beliebiger Skalar, d.h. , dann definiert man die Elemente x+y und wie folgt:

Der auf diese Weise erhaltene Vektorraum wird mit bezeichnet.

Hinweis: Teilräume dieses Vektorraumes sind unter anderen die Räume in den folgenden Beispielen:

Beispiel B: Vektorraum B(T)

Häufig wird dieser Vektorraum auch mit bezeichnet. Im Falle von erhält man den Raum aus Beispiel D.

Beispiel C: Vektorraum C([a,b])

Menge aller auf dem Intervall [a,b] stetigen Funktionen, wobei hier T=[a,b] betrachtet wurde.

Beispiel D: Vektorraum C^(k)([a,b])

Sei . Die Menge aller Funktionen, die auf dem Intervall -mal stetig differenzierbar sind (s. Differentialrechnung), ist ein Vektorraum. In den Randpunkten a und b des Intervalls [a,b] sind die Ableitungen als rechts- bzw. linksseitige zu verstehen.

Hinweis: Für die in den Beispielen A bis D bereitgestellten Vektorräume gelten im Falle von T=[a,b] die Teilraumbeziehungen

Beispiel E: Vektorraum C(T)

Für einen beliebig fixierten Punkt bildet die Menge einen linearen Teilraum von .