Beispiele für Vektorräume von Folgen

Beispiel A: Vektorraum Kⁿ

Seien n eine fixierte natürliche Zahl und die Menge aller n-Tupel, d.h. aller endlichen aus n Gliedern bestehenden Folgen von Skalaren . Die Operationen seien komponenten- oder gliedweise erklärt, d.h., sind und zwei beliebige Elemente aus und ein beliebiger Skalar, d.h. , dann setzt man

Auf diese Weise erhält man den Vektorraum , insbesondere also für n=1 die linearen Räume oder .
Dieses Beispiel kann in zweierlei Hinsicht verallgemeinert werden (s. Beispiele B und C):

Beispiel B: Vektorraum aller Zahlenfolgen

Nimmt man als Elemente jetzt unendliche Folgen und behält die gliedweise erklärten Operationen gemäß (12.11a) und (12.11b) bei, so erhält man den Vektorraum aller Zahlenfolgen.

Beispiel C: Vektorraum aller finiten Zahlenfolgen

Es sei die Menge aller Elemente aus , die nur endlich viele von Null verschiedene Glieder besitzen. Die Anzahl der von Null verschiedenen Glieder ist im allgemeinen individuell vom Element abhängig. Der so entstehende - wieder mit den gliedweise erklärten Operationen versehene - Vektorraum wird mit oder auch mit bezeichnet und heißt Raum aller finiten Zahlenfolgen.

Beispiel D: Vektorraum aller beschränkten Zahlenfolgen

Eine Folge gehört zu genau dann, wenn mit . Man trifft häufig auch die Bezeichnung für diesen Vektorraum.

Beispiel E: Vektorraum aller konvergenten Folgen

Es gilt genau dann, wenn es eine solche Zahl gibt mit der Eigenschaft, daß für ein Index existiert, so daß für alle n > n₀ gilt (s. Grenzwerte von Zahlenfolgen).

Beispiel F: Vektorraum aller Nullfolgen

Raum aller Nullfolgen, d.h. der Teilraum von , der aus allen zu Null () konvergenten Folgen besteht.

Beispiel G: Vektorraum l^p

Raum aller Folgen , für die die Reihe konvergiert. Daß die Summe zweier Folgen aus wieder eine Folge aus ist, d.h. eine konvergente Reihe aus den p-ten Potenzen der Absolutbeträge ihrer Glieder besitzt, folgt aus der MINKOWSKIschen Ungleichung.

Hinweis: Für die in den Beispielen A bis G eingeführten Vektorräume von Folgen gelten die folgenden Inklusionen: