Resolventenmenge und Resolvente eines Operators

Bei Untersuchungen zur Lösbarkeit von Gleichungen ist man bestrebt, das Problem auf die Form

(I-T)x=y (12.151)

mit einem Operator T von möglichst kleiner Norm zu bringen, da diese wegen (12.141) und (12.142) für eine funktionalanalytische Behandlung besonders zugänglich ist. Um mit der Theorie auch große Werte von zu erfassen, untersucht man in einem komplexen BANACH-Raum die gesamte Schar von Gleichungen

Sei T ein linearer, im allgemeinen unbeschränkter Operator im BANACH-Raum . Die Menge aller komplexen Zahlen, für die gilt, heißt Resolventenmenge und der Operator Resolvente. Sei jetzt T ein beschränkter linearer Operator in einem komplexen BANACH-Raum . Dann gelten die Aussagen:

1. Die Menge ist offen. Genauer, ist und genügt der Ungleichung

   dann existiert , und es gilt
2. . Genauer, für mit existiert und
3. , wenn , und , wenn .
   
4. , wenn .
   
5. Für ein beliebiges Funktional und beliebiges ist eine holomorphe Funktion auf .
   
6. Für beliebige gilt