Spektrum und Definition des Operators

Die Menge heißt Spektrum des Operators . Da I-T offenbar genau dann einen stetigen Inversen (und demzufolge die Gleichung (12.151) immer eine Lösung, die stetig von der rechten Seite abhängt) besitzt, wenn , ist eine möglichst umfassende Kenntnis des Spektrums des Operators erforderlich. Aus den Eigenschaften der Resolventenmenge folgt sofort, daß das Spektrum eine abgeschlossene Teilmenge von ist, die im Kreis liegt, wobei in vielen Fällen deutlich kleiner als dieser Kreis ist. Für jeden linearen stetigen Operator auf einem komplexen BANACH-Raum ist das Spektrum nicht leer, und es gilt die Formel

Genauere Angaben über das Spektrum sind für viele gebräuchliche Klassen von Operatoren möglich.

Ist T ein Operator in einem endlichdimensionalen Raum und hat die Gleichung nur die triviale Lösung (d.h.,  ist injektiv), dann folgt bereits (d.h.,  ist surjektiv). Hat diese Gleichung in irgendeinem BANACH-Raum eine nichttriviale Lösung, dann ist der Operator nicht injektiv und ist im allgemeinen nicht definiert.

Die Zahl heißt Eigenwert des linearen Operators , wenn die Gleichung eine nichttriviale Lösung besitzt. Alle diese Lösungen heißen Eigenvektoren oder, falls ein Funktionenraum ist (was in Anwendungen offenbar zutrifft), Eigenfunktionen des Operators T zu . Der von ihnen aufgespannte Teilraum heißt der Eigenraum zu . Die Menge aller Eigenwerte von T heißt Punktspektrum des Operators .