Konvergenzkreis

Die Grenze zwischen dem Konvergenzbereich und dem Divergenzbereich einer Potenzreihe ist ein eindeutig bestimmter Kreis, der Konvergenzkreis. Man bestimmt seinen Radius wie im Reellen, falls die Grenzwerte

existieren. Wenn die Reihe überall divergiert, ausgenommen den Punkt , dann ist , konvergiert sie überall, dann ist . Das Verhalten der Potenzreihe für Punkte auf dem Rand des Konvergenzkreises ist von Fall zu Fall zu untersuchen.

Beispiel

Die Potenzreihe mit dem Konvergenzkreisradius r=1 divergiert für z=1 (harmonische Reihe) und konvergiert für z=-1 (nach dem Kriterium von LEIBNIZ für alternierende Reihen). Auch für alle weiteren Punkte des Einheitskreises | z | =1 mit Ausnahme des Punktes z=1 ist die Reihe konvergent.