Faltung

Die zweiseitige Faltung

bezieht sich auf das Intervall () und existiert unter der Voraussetzung, daß die Funktionen f₁(t) und f₂(t) in diesem Intervall absolut integrierbar sind. Wenn f₁(t) und f₂(t) beide für t < 0 verschwinden, dann ergibt sich aus (15.93) die einseitige Faltung

Diese ist somit ein Spezialfall der zweiseitigen Faltung. Während die FOURIER-Transformation die zweiseitige Faltung benutzt, verwendet die LAPLACE-Transformation die einseitige Faltung.

Für die FOURIER-Transformation der zweiseitigen Faltung gilt

wenn die Integrale

existieren, d.h., die Funktionen und ihre Quadrate im Intervall integrierbar sind.

Beispiel

Es ist die zweiseitige Faltung

für die Funktion des unipolaren Rechteckimpulses (A.1) (linke Abbildung) zu berechnen.

Da

gilt, ergibt sich

für ,

für ,

für . Zusammengefaßt erhält man für diese Faltung (rechte Abbildung)

Für die FOURIER-Transformierte erhält man mit (A.1) vom Beisiel für den unipolaren Rechteckimpuls

und für das Amplitudenspektrum der Funktion f(t)