Vergleich von Fourier- und Laplace-Transformation

Zwischen FOURIER- und LAPLACE-Transformation besteht ein enger Zusammenhang, der dadurch gegeben ist, daß sich die FOURIER-Transformation als Spezialfall der LAPLACE-Transformation für den Fall ergibt. Daraus folgt, daß jede FOURIER-transformierbare Funktion auch LAPLACE-transformierbar ist, während das Umgekehrte nur für einen kleineren Kreis von Funktionen f(t) möglich ist. Die folgende Tabelle enthält einen Vergleich einer Reihe von Eigenschaften der beiden Integraltransformationen.

Tabelle Vergleich der Eigenschaften von FOURIER- und LAPLACE-Transformation

FOURIER-Transformation	LAPLACE-Transformation
ist reell, physikalisch deutbar, z.B. als Frequenz	p ist komplex,
Ein Verschiebungssatz	Zwei Verschiebungssätze
Intervall: Lösung von Differentialgleichungen, die Probleme mit diesem zweiseitigem Definitionsbereich beschreiben, z.B. die Wellen-Gleichung	Intervall: Lösung von Differentialgleichungen, die Probleme mit diesem einseitigen Definitionsbereich beschreiben, z.B. die Wärmeleitungs-Gleichung
Differentiationssatz enthält keine Anfangswerte	Differentiationssatz enthält Anfangswerte
Konvergenz des FOURIER-Integrals hängt nur von f(t) ab	Konvergenz des LAPLACE-Integrals wird durch den Faktor e-pt verbessert
Genügt der zweiseitigen Faltung	Genügt der einseitigen Faltung