Eigenschaften

Da die Bildfunktion F(z) gemäß (15.109) eine Potenzreihe bezüglich der komplexen Veränderlichen 1/z ist, folgt aus den Eigenschaften von Potenzreihen im Komplexen:

1. Für eine Z-transformierbare Folge {f_n} gibt es eine reelle Zahl , so daß die Reihe (15.109) absolut konvergiert für | z | > 1/R und divergiert für . Für ist die Reihe sogar gleichmäßig konvergent. Mit R ist der Konvergenzradius der Potenzreihe (15.109) bezüglich 1/z bezeichnet. Konvergiert die Reihe für alle , so setzt man . Für nicht Z-transformierbare Folgen setzt man .
2. Ist {f_n} Z-transformierbar für , dann ist die zugehörige Bildfunktion F(z) eine analytische Funktion für | z | > 1/R und gleichzeitig die einzige Bildfunktion von . Für die Umkehrung gilt: Ist F(z) eine analytische Funktion für | z | > 1/R und auch für regulär, dann gibt es zu F(z) genau eine Originalfolge . Dabei heißt F(z) regulär für , wenn F(z) eine Potenzreihenentwicklung der Form (15.109) besitzt und gilt.