Fehler der Einzelmessung einer Meßreihe

1. Wahrer und scheinbarer Fehler der Einzelmessung einer Meßreihe

1. Wahrer Fehler der Einzelmessung einer Meßreihe

wird die Abweichung des Meßergebnisses vom wahren Wert x_w genannt. Da dieser meist unbekannt ist, bleibt auch der wahre Fehler der i-ten Messung mit dem Ergebnis x_i unbekannt:

2. Scheinbarer Fehler der Einzelmessung einer Meßreihe

wird die Abweichung des Meßergebnisses x_i vom arithmetischen Mittelwert genannt:

2. Mittlerer quadratischer Fehler der Einzelmessung oder Standardabweichung der Einzelmessung

Da der Erwartungswert der Summe der wahren Fehler und der Erwartungswert der Summe der scheinbaren Fehler v_i von n Messungen einer Größe verschwindet, werden die verschiedenen Fehler mit Hilfe der Fehlerquadratsummen berechnet:

Für die praktische Auswertung ist nur (16.204b) von Interesse, weil nur die Werte v_i aus den Meßergebnissen ermittelt werden können. Deshalb definiert man

als mittleren quadratischen Fehler der Einzelmessung der Meßreihe. Der Wert ist ein Näherungswert für die Standardabweichung der Fehlerverteilung.

Im Falle der Fehlernormalverteilung gilt für :

Das bedeutet: Die Wahrscheinlichkeit, daß der wahre Fehler betragsmäßig den Wert nicht übersteigt, beträgt ca. 68 %.

3. Wahrscheinlicher Fehler

Wahrscheinlicher Fehler ist die Bezeichnung für eine Zahl , für die gilt:

Das bedeutet: Die Wahrscheinlichkeit, daß der Fehler den Wert nicht übersteigt, beträgt in diesem Falle 50 %. Die Abszissenwerte teilen die linke und rechte Fläche unter der Dichtefunktion in je zwei gleich große Hälften (s. Abbildung).

Im Falle der Fehlernormalverteilung besteht zwischen und der Zusammenhang

4. Mittlerer Fehler

Mittlerer Fehler ist die Bezeichnung für eine Zahl , die als Erwartungswert des absoluten Betrages des Fehlers definiert wird:

Im Falle der Fehlernormalverteilung ergibt sich . Auf Grund der Beziehung

folgt daraus: Die Wahrscheinlichkeit, daß der Fehler den Wert nicht übersteigt, beträgt ca. 57,6 %. Bei den Abszissenwerten liegen die Schwerpunkte der rechten bzw. linken Fläche unter der Dichtefunktion (s. Abbildung).

Im Falle der Fehlernormalverteilung gilt