Binomialverteilung

Sind bei einem Versuch nur die beiden Ereignisse A und möglich und sind die dazuzugehörigen Wahrscheinlichkeiten P(A) = p und , so ist

die Wahrscheinlichkeit dafür, daß bei n-maliger Wiederholung des Versuches das Ereignis A genau k-mal eintritt.
Bei jedem Ziehen eines unabhängigen Elements aus der Grundgesamtheit gilt

Die Wahrscheinlichkeit, bei den ersten k Ziehungen ein Element mit der Eigenschaft A zu ziehen und bei den darauffolgenden n - k ein Element mit der Eigenschaft , ist , da die Ergebnisse der Ziehungen unabhängig von einander sind. Dabei ist die Reihenfolge der Ziehung der Elemente ohne Bedeutung, da die Kombinationen

die gleiche Wahrscheinlichkeit haben und auch zu einer Stichprobe mit dem Umfang n mit k Elementen der Eigenschaft A führen. Eine Zufallsveränderliche , bei der P(X_n = k) = Wⁿ_p(k) ist, heißt binomialverteilt mit den Parametern . Es gilt:

1. Erwartungswert und Streuung:

2. Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung:

Ist X_n binomialverteilt, so ist

Demnach läßt sich die Binomialverteilung für große n näherungsweise durch eine Normalverteilung mit den Parametern und ersetzen. Dies ist mit im allgemeinen ausreichender Genauigkeit möglich, wenn np > 4 und n(1-p) > 4 ist.

3. Rekursionsformel:

Für praktische Rechnungen ist die folgende Rekursionsformel der Binomialverteilung nützlich:

4. Summe von binomialverteilten Zufallsgrößen:

Sind X_n und X_m mit den Parametern bzw. binomialverteilte Zufallsveränderliche, so ist die Zufallsveränderliche X = X_n + X_m ebenfalls binomialverteilt, und zwar mit den Parametern .

In der folgenden Abbildung sind drei Binomialverteilungen für die Fälle und 0,1 dargestellt.

Die Abbildung zeigt auch, daß sich in Übereinstimmung mit der Symmetrie der Binomialkoeffizienten für p = q = 0,5 eine Symmetrie der Binomialverteilung ergibt. Mit der Entfernung des Wertes p von 0,5 nimmt diese Symmetrie ab.