Poisson-Verteilung

Die Verteilung einer diskreten Zufallsveränderlichen , bei der

ist, heißt POISSON-Verteilung mit den Parametern . Es gilt:

1. Erwartungswert und Streuung:

2. Summe von POISSON-verteilten Zufallsgrößen:

Sind X₁ und X₂ unabhängige, POISSON-verteilte Zufallsveränderliche mit den Parametern bzw. , so ist auch X = X₁ + X₂ eine POISSON-verteilte Zufallsveränderliche mit dem Parameter .

3. Rekursionsformel:

4. Zusammenhang zwischen POISSON- und Binomialverteilung:

Die POISSON-Verteilung geht aus einer Folge von binomialverteilten Zufallsveränderlichen X_n mit den Parametern durch den Grenzübergang hervor, wenn man mit n so variiert, daß bleibt. Für kann die Binomialverteilung mit im allgemeinen ausreichender Genauigkeit durch die POISSON-Verteilung ersetzt werden, deren Auswertung einfacher ist. Zahlenwerte für die POISSON-Verteilung enthält die Tabelle POISSON-Verteilung. In der folgenden Abbildung sind drei POISSON-Verteilungen für und 0,5 dargestellt. Die Parameter entsprechen den Parametern der anschließend zum Vergleich dargestellten drei Binomialverteilungen und drei hypergeometrischen Verteilung.

5. Anwendungen

(s. auch POISSON-Prozesse): Durch die POISSON-Verteilung lassen sich z.B. beschreiben: Anzahl der Kunden, die in einem bestimmten Zeitintervall einen Laden betreten; Anzahl der Druckfehler in einem Buch; Rate der radioaktiven Zerfälle.