Poisson-Prozeß

Bei den stochastischen Ketten sind sowohl der Zustandsraum Z als auch der Parameterraum T diskret, d.h., der stochastische Prozeß wurde nur zu den diskreten Zeitpunkten betrachtet. Beim POISSON-Prozeß wird dagegen ein stetiger Parameterraum T vorausgesetzt.

1. Mathematische Formulierung

Zur mathematischen Formulierung des POISSON-Prozesses wird festgelegt:

• 1. Die Zufallsgröße X_t sei die Anzahl der Signale im Zeitintervall [0,t);
• 2. die Wahrscheinlichkeit p_X(t)=P(X_t=x) sei die Wahrscheinlichkeit für x Signale im Zeitintervall .

Darüber hinaus werden folgende Voraussetzungen gefordert, die vom radioaktiven Zerfall und von vielen anderen zufällig ablaufenden Prozessen (zumindest annähernd) erfüllt werden:

• 3. Die Wahrscheinlichkeit P(X_t=x) für x Signale in einem Zeitintervall der Länge t hängt nur von x und t ab, aber nicht von der Lage des Zeitintervalls auf der Zeitachse.
• 4. Die Anzahl der Signale in disjunkten Zeitintervallen sind unabhängige Zufallsgrößen.
• 5. Die Wahrscheinlichkeit für mindestens ein Signal in einem kleinen Zeitintervall der Länge ist proportional zu dieser Länge. Der Proportionalitätsfaktor werde mit bezeichnet.

2. Verteilungsfunktion

Durch die voranstehenden Eigenschaften 3. bis 5. ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X_t bestimmt. Man erhält:

3. Bemerkungen

1. Für t=1 ergibt sich aus (16.120a) als Spezialfall die POISSON-Verteilung.
   
2. Zur Interpretation des Parameters und eventuell zu seiner genäherten Bestimmung aus beobachteten Daten sind die folgenden Zusammenhänge nützlich:

   • ist die mittlere Anzahl von Signalen pro Zeiteinheit,
   • ist der mittlere Abstand zweier Signale eines POISSON-Prozesses.
3. Der POISSON-Prozeß kann als zufällige Bewegung (Irrfahrt) eines Teilchens auf dem Zustandsraum gedeutet werden. Das Teilchen startet im Zustand , und bei jedem Signal springt es vom Zustand i in den nächsten Zustand . Dabei soll in einem kleinen Zeitintervall für die Übergangswahrscheinlichkeit p_i,i+1 vom Zustand i in den Zustand i+1 gelten:

   Die Größe heißt hier Übergangsrate.

für Poisson-Prozesse

Beispiel A

Der radioaktive Zerfall ist ein typisches Beispiel für den POISSON-Prozeß: Mit einem Zählgerät werden die Zerfallsakte (Signale) registriert und über einer Zeitachse abgetragen. Der Beobachtungszeitraum sei dabei vernachlässigbar klein im Vergleich zur Halbwertszeit des radioaktiven Strahlers.

Beispiel B

Für die Anzahl der in einer Telefonzentrale bis zum Zeitpunkt t registrierten Telefongespräche läßt sich z.B. die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, daß bis zur Zeit t höchstens x Gespräche vermittelt werden, wenn pro Zeiteinheit durchschnittlich Gespräche geführt werden.

Beispiel C

Bei Zuverlässigkeitsuntersuchungen wird die wahrscheinliche Anzahl der Ausfälle eines reparierbaren Systems während der Betriebsdauer berechnet.

Beispiel D

In der Bedienungstheorie wird die Anzahl der bis zur Zeit t eintreffenden Kunden an einer Kaufhauskasse, einem Fahrkartenschalter oder einer Tankstelle betrachtet.