Logarithmische Normalverteilung

Dichte, Verteilungsfunktion, Erwartungswert und Streuung

1. Verteilungsfunktion und Dichte:

Die stetige Zufallsgröße X, die alle positiven Werte annehmen kann, besitzt eine logarithmische Normalverteilung (auch Lognormalverteilung genannt) mit den Parametern und , wenn die Zufallsgröße Y mit

normalverteilt ist mit den Parametern und . Die Zufallsgröße X hat demzufolge die Dichte

und die Verteilungsfunktion

Bei praktischen Anwendungen wird als Logarithmus entweder der natürliche oder der dekadische Logarithmus verwendet.

2. Erwartungswert und Streuung:

Für Erwartungswert und Streuung der Lognormalverteilung erhält man, wenn der natürliche Logarithmus verwendet wird:

Bemerkungen:

1. Die Dichtefunktion der Lognormalverteilung ist links durch Null begrenzt und läuft rechts flach aus. Die folgende Abbildung zeigt die Dichte der Lognormalverteilung für verschiedene Werte von und . Dabei wurde der natürliche Logarithmus verwendet.
   

   

2. Man beachte: und sind Erwartungswert und Streuung der transformierten Zufallsgröße , während und gemäß (16.80) Erwartungswert und Streuung der Zufallsgröße X sind.
3. Die Verteilungsfunktion F(x) der Lognormalverteilung kann mit Hilfe der Verteilungsfunktion der normierten Normalverteilung berechnet werden, denn es gilt:
4. Die Lognormalverteilung wird häufig bei Lebensdaueranalysen von ökonomischen, technischen und biologischen Vorgängen angewendet.
5. Während die Normalverteilung mit der additiven Überlagerung einer großen Anzahl voneinander unabhängiger zufälliger Ereignisse in Zusammenhang gebracht werden kann, ist es bei der Lognormalverteilung das multiplikative Zusammenwirken vieler zufälliger Einflüsse.