Grenzwertsatz von Lindeberg-Levy

Wenn die unabhängigen Zufallsveränderlichen derselben Verteilung mit dem Erwartungswert und der Streuung genügen, dann strebt die Verteilungsfunktion F_n(y) der zufälligen Veränderlichen

für gegen eine (0,1)-Normalverteilung, d.h., es ist

Die Ersetzung von F_n(y) durch die (0,1)-Normalverteilung ist praktisch für n>30 möglich (s. [16.1]).
Weitere Grenzwertsätze s. [16.6], [16.10], [16.21].

Beispiel

Einer laufenden Produktion von Widerständen werden 100 Stück entnommen. Es sei bekannt, daß sämtliche Widerstandswerte unabhängig sind und derselben Verteilung mit der Streuung genügen. Der Mittelwert der 100 Widerstände sei . In welchem Bereich liegt mit einer Wahrscheinlichkeit von 99 % der Erwartungswert der Verteilung?
Es ist . Man kann annehmen (s. (16.105)), daß die Zufallsveränderliche einer (0,1)-Normalverteilung genügt. Somit ist und damit .
Diese Wahrscheinlichkeit soll sein. Damit gilt . Aus der Tabelle Normierte Normalverteilung entnimmt man . Wegen gilt daher mit der Wahrscheinlichkeit 99 %: