Statistische Sicherheit des Stichprobenmittelwertes

Wenn X normalverteilt ist mit den Parametern und , dann ist normalverteilt mit den Parametern und , d.h., die Dichtefunktion von ist stärker um den Mittelwert konzentriert als die Dichtefunktion f(x) der Grundgesamtheit. Es gilt für einen vorgegebenen Wert :

Daraus folgt, daß mit wachsendem Umfang n der Stichprobe die Wahrscheinlichkeit größer wird, daß der Stichprobenmittelwert eine gute Näherung für ist.

Beispiel

Für erhält man aus (16.136) , und für verschiedene Werte von n folgen daraus die Werte in der folgenden Tabelle. Man liest aus der Tabelle z.B. ab, daß bei einer Stichprobe vom Umfang n = 49 der Stichprobenmittelwert mit einer Sicherheit von 99,95 % um höchstens vom Mittelwert der Grundgesamtheit abweicht.

Tabelle Statistische Sicherheit des Stichprobenmittels

n
1	38,29 %
4	68,27 %
16	95,45 %
25	98,76 %
49	99,96 %