Satz von Lyapunov über asymptotische Stabilität

Eine skalarwertige Funktion V heißt positiv definit in einer Umgebung U des Punktes , wenn gilt:

1. ist stetig.
2. V (x) > 0 für alle und .

Sei eine offene Teilmenge und eine stetige Funktion. Die Funktion V heißt LYAPUNOV-Funktion von (17.1) in U, falls nicht wächst für wachsende t , solange für die Lösung gilt.
Der Satz von LYAPUNOV über asymptotische Stabilität lautet:
Sei eine LYAPUNOV-Funktion von (17.1) und sei V positiv definit in einer Umgebung U von . Dann ist p stabil. Gilt außerdem, daß aus für eine Lösung von (17.1) mit immer folgt, so ist die Ruhelage p sogar asymptotisch stabil.

Beispiel

Der Punkt (0,0) ist Ruhelage der ebenen Differentialgleichung . Mit V (x,y) = x²+y² liegt eine Funktion vor, die positiv definit in jeder Umgebung von (0,0) ist und für deren Ableitung entlang einer beliebigen Lösung für gilt. Also ist (0,0) asymptotisch stabil.