Lyapunov-Stabilität und orbitale Stabilität

Betrachtet wird die nichtautonome Differentialgleichung (17.11). Die Lösung von (17.11) heißt LYAPUNOV-stabil, wenn gilt:

Die Lösung heißt asymptotisch stabil im Sinne von LYAPUNOV, wenn sie stabil ist und gilt:

Für die autonome Differentialgleichung (17.1) läßt sich neben der LYAPUNOV-Stabilität der Lösungen auch die orbitale Stabilität betrachten. Die Lösung von (17.1) heißt orbital stabil (asymptotisch orbital stabil), wenn der Orbit stabil (asymptotisch stabil) im Sinne einer invarianten Menge ist. Eine Lösung von (17.1), die eine Ruhelage repräsentiert, ist genau dann LYAPUNOV-stabil, wenn sie orbital stabil ist. Schon für periodische Lösungen von (17.1) können sich beide Stabilitätsarten unterscheiden.

Beispiel

Gegeben sei ein Fluß in , der den Torus T² als invariante Menge besitzt. Lokal sei in Winkelkoordinaten der Fluß beschrieben durch , wobei eine -periodische glatte Funktion sei, für die gilt:

Eine beliebige Lösung mit Anfang auf dem Torus ist gegeben durch

An dieser Darstellung erkennt man, daß jede Lösung orbital stabil ist, aber nicht LYAPUNOV-stabil (s. Abbildung).