m-dimensionale eingebettete Tori als invariante Mengen

Eine Differentialgleichung (17.1) kann einen m-dimensionalen Torus als invariante Menge besitzen. Ein in den Phasenraum eingebetteter m-dimensionaler Torus T^m wird durch eine differenzierbare Abbildung , die als Funktion in jeder Koordinate als -periodisch vorausgesetzt wird, definiert.

Beispiel

In einfachen Fällen läßt sich die Bewegung des Systems (17.1) auf dem Torus in Winkelkoordinaten durch die Differentialgleichungen beschreiben. Die Lösung dieses Systems mit Anfang zur Zeit t = 0 ist .

Eine stetige Funktion heißt quasiperiodisch, wenn f eine Darstellung in der Form , wobei g wieder wie oben eine differenzierbare Funktion, die -periodisch in jeder Komponente ist, besitzt und die Frequenzen inkommensurabel sind, d.h. es keine ganzen Zahlen n_i mit gibt, so daß ist.